1.06 关系模型¶

从本节开始，我们将介绍关系型数据库管理系统的数据组织与访问。凡是将关系模型作为数据模型的数据管理系统，我们统称为关系型数据库系统。

1.06.1 关系结构¶

关系模型是将数据组织成一个个关系，关系表示现实世界中的各类实体以及实体之间的联系。通常，关系可以形象地理解为一张二维表，它建立在集合论的基础之上。图1-6-1中展示了学生-课程数据库的关系模型和数据实例，其中包含学生Student、课程Course和选课SC三个关系。每个关系的逻辑结构是一张二维表，它由表头和表内记录组成。

图 1-6-1 学生-课程数据库的关系模型和数据实例

关系模型的基本概念：

• 关系模式：表头在关系模型中称为关系模式（schema），它是对关系的描述。例如，学生关系的关系模式可以形式化表示为：学生（学号，姓名，性别， 年龄，系），其中“学生”是关系名，“学号”、“姓名”、“性别”、“年龄”、“系”是属性名。
• 属性：表中的每一列在关系模型中称为属性（attribute）。属性是对每类实体的特征抽象。比如，课程实体的特征可以抽象为课程号、课程名和学分。每一列属性值取自于一个域。域是一组具有相同数据类型的值的集合。例如，课程名属性值来自于长度小于25字节的字符串集合，学分来自于大于0小于5的正整数。
• 元组：表内记录中的每一行在关系模型中称为元组（tuple）。元组是对某一实体对象进行描述，由任意个属性值组成。例如，学生表中的第一行元组(2022001, ‘沐辰’, '男', 19, '计算机')描述的是学生“沐辰”对象。该元组表示学生沐辰的学号是2022001，属于计算机系。
• 关系：表中的所有记录在关系模型中称为关系，关系是元组的集合。如果元组由\(n\)个属性值组成，则元组对应的关系称为\(n\)元关系。比如课程和选课关系是三元关系，学生关系是五元关系。通常关系也称为表，如学生关系称为学生表，课程关系称为课程表，选课关系称为选课表。
• 候选码：在关系中，如果某一属性组的值能够唯一地标识一个元组，而其子集不能的，则该属性组称为候选码。候选码可以包含关系模式中的一个属性，多个属性，甚至是所有属性。候选码中的属性称为主属性，不包含在候选码中的属性称为非主属性或者非码属性。例如，学号是学生关系的候选码，学号和课程号是选课关系的候选码。此外，一个关系里也可以有多个候选码。例如，在仓库管理关系（仓库号，管理员号，商品号，商品数量）中，如果一个仓库只有一个管理员，一个管理员只管理一个仓库，那么仓库号和商品号是该关系的候选码，管理员号和商品号也是该关系的候选码。
• 主码：关系中的某一个候选码设置为主码（primary key）。例如，学生关系中学号是主码，课程关系中课程号是主码，选课关系中学号和课程号共同构成主码。

在图1-6-1中，学生-课程数据库的三个关系表示如下，其中关系中的主码以下划线进行表示。

• 学生关系（学生表）：Student (Sno, Sname, Gender, Age, Dept)；
• 课程关系（课程表）：Course (Cno, Cname, Credit)；
• 学生选课关系（学生选课表）：SC (Sno,Cno,Grade)；

与文档模型相比，关系和文档集都是对各类实体的描述，元组和文档是对某一实体实例的描述。关系是元组的集合，文档集是文档的集合。在关系模型中，关系模式是提前进行严格定义的。关系中的每个元组必须包含关系模式中定义的所有属性，并且属性值需要遵循定义的数据类型和长度。而在文档模型中，组成文档的属性不用提前定义，并且同一文档集内，各文档之间的属性可以不同，相同属性的数据类型也可以不同。

1.06.2 关系代数运算¶

关系模型是一种数据组织结构，是一种信息表达方式。如何基于关系模型来描述数据的存取功能呢？关系模型上常用的计算方式称为关系代数。接下来，我们讲介绍如何用关系的运算来表达数据的存取。

图 1-6-2 关系代数运算符

任何一种运算都是将运算符作用于一定的运算对象上，然后得到运算结果。运算对象、运算符和运算结果是运算的三大要素。关系代数的运算对象是关系，运算结果也是关系。关系代数的运算符包括四类：集合运算符、专门的关系运算符、比较运算符和逻辑运算符，如图1-6-2所示。

按运算符进行划分，关系代数的运算可以分为：

• 集合运算：将关系看成元组的集合，从行的角度进行运算。集合运算是二目运算，包括并（union）、交（intersection）、差（except）和笛卡尔积（cartesian product）四种运算，分别记作 $ R \cup S$, $ R \cap S\(，\) R - S$， \(R \times S\)，其中\(R\)和\(S\)表示关系。
• 关系运算：从关系的行和列进行运算，包括选择（selection）、投影（projection）、连接（join）和除（division）四类运算，分别记作\(\sigma_F(R)\)，\(\Pi_A(R)\)，\(R \Join_{A \theta B} S\)，\(R \div S\)，其中\(R\)和\(S\)表示关系，\(F\)表示比较运算表达式，\(A\)和\(B\)表示属性，\(\theta\)表示比较运算符。
• 比较运算：是为了辅助关系运算而进行的操作。比较运算用比较运算符比较两个值，其结果是一个逻辑值“真”或“假”。在关系运算中，通常记作 \(X \theta Y\)， 其中\(\theta\)表示比较运算符\(>\)，\(\ge\)，\(<\)，\(\le\)，\(=\)，$<> \(等，\)X\(和\)Y$可以是属性名，常量或者简单的函数。
• 逻辑运算：也是为辅助关系运算而进行的操作。在关系运算中，逻辑运算用逻辑运算符对若干个比较运算结果进行运算，其结果也是一个逻辑值，常用的逻辑运算符有与(\(\land\))、或(\(\lor\))和非(\(\neg\))。

关系代数中最常用的是关系运算。接下来将介绍选择、投影、连接和除四类关系运算。

（1）选择

选择（\(\sigma\)）是一个一元算子，它是从关系\(R\)中选择出满足给定条件的所有元组，记作$\(\sigma_F(R)=\{t | t\in R \land F(t) = '真' \}\)\(其中，\)t\(表示元组；\)F\(是比较运算表达式，又称为选择条件，它的运算对象是关系\)R\(中的各个属性。选择运算表达式实际上表示的是从关系\)R\(中选取出使比较运算表达式\)F\(为真的元组。换而言之， 选择运算是用选择条件\)F\(对关系\)R$中的元组进行过滤，过滤之后的结果是由一个或者多个元组组成的新关系，所以选择运算是从关系的行角度进行的运算。

下面的例子展示了用选择运算来描述数据的读取，并给出了选择运算的结果。选择运算的对象是图1-6-1的学生关系。

[例1.01] 查询姓名为浩宇的学生。 关系运算表示为：\(\sigma_{Sname='浩宇'}(Student)\)，运算结果如图1-6-3(a)所示 。
[例1.02] 查询年龄小于19岁的女学生。关系运算表示为：\(\sigma_{Gender='女' \land Age < 19}(Student)\)，运算结果如图1-6-3(b)所示。

图1-6-3 选择运算举例

（2）投影

投影（\(\Pi\)）是一个一元算子，它是从关系\(R\)中选择出若干属性列组成的新关系，记作$\(\Pi_A(R)=\{t[A] | t \in R\}\)\(，其中，\)A\(是关系\)R\(的一个属性或者多个属性组成的属性组，又称为投影条件；\)t[A]\(则表示元组\)t\(在属性组\)A\(上各属性值的集合。投影运算其实是对关系\)R\(做垂直切分，只留下属性组\)A\(，投影结果是由属性组\)A$的属性值组成的新关系。所以，投影运算是从关系的列角度进行的运算。值得特别注意的是，投影之后的结果不能包含重复的元组，因此投影运算还需要去掉新关系中完全相同的元组。

下面展示了在图1-6-1中学生关系上的投影运算。

[例1.03] 查询学生的学号和姓名。 关系运算表示为：\(\Pi_{Sno,Sname}(Student)\)，运算结果如图1-6-4(a)所示 。
[例1.04] 查询学生的系。关系运算表示为：\(\Pi_{Dept}(Student)\)，运算结果如图1-6-4(b)所示。

图 1-6-4 投影运算举例

（3）连接

连接（\(\Join\)）是一个二元算子，它是从两个关系\(R\)和\(S\)的笛卡尔积中选取满足给定条件的元组，记作$\(R \Join_{A\theta B} S = \{^\frown_{t_r,t_s} | t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[A] \theta t_s[B] = '真'\}\)\(其中，\)A\theta B\(是比较运算表达式，又称连接条件。\)A\(是关系\)R\(的属性组，\)B\(是关系\)S\(的属性组，\)A\(和\)B\(称为连接属性组，它们的列数相等且属性值具有可比性；\)^\frown_{t_r,t_s}\(表示关系\)R\(和\)S\(的笛卡尔积。这里笛卡尔积称为广义笛卡尔积，记作\)R \times S\(，它是用关系\)R\(中的元组为第一元素，关系\)S\(中的元组为第二元素构成有序对，然后由所有的有序对组成的集合。也就是说，如果关系\)R\(有\)n\(个属性和\)k_1\(个元组，关系\)S\(有\)m\(个属性和\)k_2\(个元组，那么它们的笛卡尔积有\)n+m\(个属性和\)k_1 \times k_2\(个元组。连接运算的执行过程是先对关系\)R\(和\)S\(求笛卡尔积，然后用连接条件对笛卡尔积中的元组进行过滤，过滤之后的结果是由\)A\(属性组上的值与\)B\(属性组上的值满足比较运算符\)\theta$的元组构成。

连接运算包括内连接（inner join）、自然连接（nature join）和外连接（outer join）三种，其中最常用且最重要的连接是内连接中的等值连接和自然连接。

• 内连接：就是通常所说的连接运算，也称为连接。根据连接条件中比较运算符\(\theta\)的不同，可以分为等值连接和不等连接。等值连接是比较运算符\(\theta\)为“\(=\)”的连接运算，也就是从关系\(R\)和\(S\)的笛卡尔积中选取\(A\)、\(B\)属性值相等的元组。不等值连接就是比较运算符为除等号之外的连接运算。
• 自然连接：是一种特殊的等值连接。它要求\(R\)和\(S\)两个关系中进行比较的属性组必须同名，并且在连接结果中要去掉重复的属性列。
• 外连接：与内连接和自然连接不同，外连接的结果中保留了关系\(R\)和\(S\)中不满足连接条件的元组。这些不满足连接条件的元组称为悬浮元组。外连接分为左外连接（left outer join或left join）、右外连接（right outer join 或者right join）和全外连接（full outer join 或者outer join）。左外连接是保留左边关系\(R\)中的悬浮元组，记作\(R ⟕ S\)。由于右边关系\(S\)没有与\(R\)悬浮元组相连接的元组，因此连接结果中\(S\)的属性上填空值(NULL)。右外连接是保留右边关系\(S\)中的悬浮元组，记作$ R ⟖ S\(。同样地，右外连接结果中悬浮元组中的左边关系\)R\(的属性上填空值。全外连接简称为外连接，是同时保留关系\)R\(和\)S$的悬浮元组，对应悬浮元组的其他属性上填空值，记作 \(R ⟗S\)。

下例中展示了在图1-6-1中学生关系和选课关系上的等值连接和自然连接。

[例1.05] 查询学生和该学生的选课信息。 等值连接表示为：\(Student \Join_{Student.Sno=SC.Sno} SC\)，运算结果如图1-6-5(a)所示 。
[例1.06] 查询学生和该学生的选课信息。自然连接表示为：\(Student \Join SC\)，运算结果如图1-6-5(b)所示。

图 1-6-5 等值连接和自然连接举例

下例中展示了在图1.10中关系\(R\)和\(S\)的外连接、左外连接和右外连接运算。

[例1.07] 关系\(R\)和关系\(S\)的外连接，表示为：\(SR ⟗S\)，运算结果如图1-6-6(b)所示 。
[例1.08] 关系\(R\)和关系\(S\)的左外连接，表示为：\(R ⟕ S\)，运算结果如图1-6-6©所示。
[例1.09] 关系\(R\)和关系\(S\)的右外连接，表示为：$R ⟖ S $，运算结果如图1-6-6(d)所示。

图 1-6-6 外连接运算举例

（4） 除

除(\(\div\))是一个二元算子。它的定义是：如果关系\(R(X,Y)\)除以关系\(S(Y,Z)\)得到的结果为关系\(T(X)\)，其中\(X,Y,Z\)都是属性组，\(R\)中的\(Y\)和\(S\)中的\(Y\)可以是不同的属性名，但属性值必须来自相同的域。关系\(T\)是关系\(R\)在属性\(X\)上的投影，投影后的元组满足以下条件：属性值\(x\)在关系\(R\)中的象集\(Y_x\)包含关系\(S\)在\(Y\)上投影的集合。记作$\(R \div S = \{t_r[X] | t_r \in R \land \Pi_Y(S) \subseteq Y_x\}\)\(其中\)x=t_r[X]\(，\)t_r[X]\(表示元组\)t\(是在关系\)R\(的属性组\)X\(上的投影集合，\)\Pi_Y(S) \(是在关系\)S\(上对属性组\)Y\(的投影集合，\)Y_x\(是属性值\)x\(在\)R\(中的象集。\)x\(在\)R\(中的象集指的是关系\)R\(中每个属性值\)x\(的所有元组在\)Y\(上属性值的集合。更通俗一点地说，就是先根据\)x\(属性值对关系\)R\(进行分组，每个组内\)Y\(的属性值集合就是该组\)x\(的象集，记作\)\(Y_x = \{t[Y] | t \in R, t[X] = x\}\)$

除运算是同时从行和列的角度进行运算。除运算的执行按以下步骤：

• 首先，按属性组\(X\)的值对关系\(R\)进行分组，然后求得每个属性值\(x\)在\(R\)中的象集，即关系\(S\)中每个\(x\)的所有\(Y\)的属性值的集合；
• 然后，进行关系\(S\)在属性组\(Y\)上的投影运算，得到关系\(S\)中\(Y\)的属性值的集合；
• 最后，选取象集中包含了\(S\)在\(Y\)属性组上投影结果的所有\(x\)。

下例展示了图1-6-7 中关系\(R\)和\(S\)的除运算。

[例1.10] 关系\(R\)和关系\(S\)的除运算，表示为：\(R \div S\)，运算结果如图1-6-7 ©所示 。

例R1.10的执行过程如下：在关系\(R\)中，属性\(A\)的取值为\(\{a1,a2,a3,a4\}\)。首先，分别计算它们的象集，其中\(a1\)的象集为\(\{(b1,c2),(b2,c3),(b2,c1)\}\)；\(a2\)的象集为\(\{(b3,c7),(b2,c3)\}\)；\(a3\)的象集为\(\{(b4,c6)\}\)；\(a4\)的象集为\(\{(b6,c6)\}\)。然后，计算关系\(S\)在\((B,C)\)上的投影为\(\{(b1,c2),(b2,c3),(b2,c1)\}\)。最后，比较各象集和关系\(S\)的投影结果，只有\(a1\)的象集包含了\(S\)在\((B,C)\)上的投影，所以，\(R \div S = \{a1\}\)。

图 1-6-7 除运算举例

关系代数运算实际上提供了一种查询方式，允许在多个关系中找到满足查询条件的数据。

1.06.3 关系代数表达式¶

在上文中，我们介绍了四种基本的关系代数运算，描述了如何在关系模型上进行最简单、基本的数据读取操作。但在现实世界中，用户的数据查询需求是复杂的，单一一种关系代数运算无法充分表达用户的查询需求。因此，我们使用关系代数表达式来描述复杂的查询需求。关系代数表达式是由关系代数运算经有限次复合而成的式子。

下面的例子展示了用关系代数表达式来描述复杂的查询需求，并给出了关系代数表达式的查询结果。

[例1.11] 查询学号为‘2022001’的学生姓名。 关系代数表达式表示为：\(\Pi_{Sname}(\sigma_{Sno='2022001'}) Student\)，查询结果如图1-6-8(a)所示 。
[例1.12] 查询选修3号课程且成绩在90分及以上的所有学生的学号和姓名。 关系代数表达式表示为：\(\Pi_{Student.Sno,Sname}(Student \Join_{Student.sno=SC.sno} (\sigma_{Cno='3' \land Grade >= '90'})SC)\)，查询结果如图1-6-8(b)所示 。

图 1-6-8 关系代数表达式举例

练习题¶

1. 声明式编程语言的优势有哪些？（1）程序简单；（2）程序运行效率高；（3）程序运行过程可控。

1. （1）（2）（3）
2. （1）（2）
3. （1）
4. 都不是

2. 关于关系代数的描述，不正确的有：

1. 关系代数的计算对象是集合
2. 关系代数的计算结果是集合
3. 一个关系也是一个集合
4. 关系代数的计算符号有且仅有：选择、投影、连接

3. 请思考，关于在表A和表B上实施的连接操作，哪种说法不对？

1. 连接结果的元组个数可能比表A和表B的元组个数都多
2. 连接结果的元组个数可能比表A和表B的元组个数都少
3. 连接结果的元组个数不可能比表A和表B的元组个数都少
4. 如果连接条件为A.x=B.x，且属性x在表A中没有重复取值，那么连接结果的元组个数不可能比表B的元组个数多

4. 假设我们有三个关系，其模式分别为

 Student(sno, sname, birthday, gender )
 Course(cno,cname,credit)
 SC(sno,cno,grade)

请写出可获得以下信息的关系代数表达式：

• 在数学课上成绩超过90分的男生姓名
• 数学课成绩超过历史课成绩的女生姓名；

上一页<< | >>下一页